Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，動點P從點A開始，沿AD邊，以1厘米/秒的速度向點D運動；動點Q從點C開始，沿CB邊，以3厘米/秒的速度向B點運動．已知P、Q兩點分別從A、C同時出發，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動．假設運動時間為t秒，問：
（1）t為何值時，四邊形PQCD是平行四邊形？
（2）在某個時刻，四邊形PQCD可能是菱形嗎？為什么？
（3）t為何值時，四邊形PQCD是直角梯形？

Answer 1

分析：（1）當四邊形PQCD是平行四邊形時，必須有PD=CQ，而PD與CQ均可用含有t的式子表示出來，所以列方程解答即可．
（2）由若四邊形PQCD是菱形，則四邊形PQCD是平行四邊形，根據（1）中的求解答案，分析看此時能否為菱形，因為CD≠PD，即可得四邊形PQCD不可能是菱形；
（3）因為當PA=BQ時，四邊形PQCD是直角梯形，然后根據題意列方程即可求得答案．

解答：解：∵運動時間為t秒，
∴AP=t（cm），PD=AD-AP=24-t（cm），CQ=3t（cm），BQ=BC-CQ=26-3t（cm），
（1）∵AD∥BC，
∴當QC=PD時，四邊形PQCD是平行四邊形．
此時有3t=24-t，解得t=6．
∴當t=6s時，四邊形PQCD是平行四邊形．

（2）若四邊形PQCD是菱形，則四邊形PQCD是平行四邊形，
根據（1）得：t=6s，
∴PD=24-t=24-6=18（cm），
過點D作DE⊥BC于E，
∴四邊形ABED是矩形，
∴BE=AD=24cm，
∴EC=BC-BE=26-24=2（cm），DE=AB=8cm，
∴DC=

DE2+EC2

=2

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≠PD，
∴四邊形PQCD不可能是菱形；

（3）∵AD∥BC，
∴當PA=BQ時，四邊形ABQP是平行四邊形，
∵∠B=90°，
∴四邊形ABQP是矩形，
∴∠PQC=90°，
∴當PA=BQ時，四邊形PQCD是直角梯形，
即t=26-3t，
解得：t=6.5，
∴t=6.5s時，四邊形PQCD是直角梯形．

點評：此題考查了平行四邊形，菱形以及直角梯形的判定．此題難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想與方程思想的應用．