Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD為正方形，已知點A（﹣6，0），D（﹣7，3），點B、C在第二象限內．

（1）求點B的坐標。

（2）將正方形ABCD以每秒1個單位的速度沿x軸向右平移t秒，若存在某一時刻t，使在第一象限內點B、D兩點的對應點B′、D′正好落在某反比例函數的圖象上，請求出此時t的值以及這個反比例函數的解析式；

（3）在（2）的情況下，問是否存在x軸上的點P和反比例函數圖象上的點Q，使得以P、Q、B′、D′四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合題意的點P、Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（﹣3，1）；

（2）t的值為9，反比例函數解析式為y=；

（3）符合題意的點P、Q的坐標為P（，0）、Q（，4）或P（7，0）、Q（3，2）．

【解析】（1）過程略B（﹣3，1）

解：（2）設反比例函數為y=，

由題意得：點B′坐標為（﹣3+t，1），點D′坐標為（﹣7+t，3），

∵點B′和D′在該比例函數圖象上，

∴k=（﹣3+t）×1=（﹣7+t）×3，[來源:]

解得：t=9，k=6，

∴反比例函數解析式為y=．

(3) ）假設存在，設點P的坐標為（m，0），點Q的坐標為（n，）．

以P、Q、B′、D′四個點為頂點的四邊形是平行四邊形分兩種情況：

①當B′D′為對角線時，設線段B′D′的中點為M，如圖2所示．

∵點B′（6，1），點D′（2，3），點M為線段B′D′的中點，

∴點M的坐標為（4，2），

∵點M是線段PQ的中點，

∴，解得：，

∴P（，0），Q（，4）；

②當B′D′為邊時．

∵四邊形PQB′D′為平行四邊形，

∴，解得：，

∴P（7，0），Q（3，2）．

綜上可知：存在x軸上的點P和反比例函數圖象上的點Q，使得以P、Q、B′、D′四個點為頂點的四邊形是平行四邊形，符合題意的點P、Q的坐標為P（，0）、Q（，4）或P（7，0）、Q（3，2）．