Question

【題目】已知頂點為的拋物線經過點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）設，分別是軸、軸上的兩個動點.

①當四邊形的周長最小時，在圖1中作直線，保留作圖痕跡.并直接寫出直線的解析式；

②點是直線上的一個動點，是的中點，以為斜邊按圖2所示構造等腰.在①的條件下，記與的公共部分的面積為.求關于的函數關系式，并求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①作圖見解析；；②S；的最大值為.

【解析】

(1)設出頂點式，直接將B點代入即可完成解答;

(2)①過y，x軸分別做A，B的對稱點、，然后連、，當這四點在同一直線時，周長最小，即可畫出圖形；再確定、,由待定系數法即可得到直線、的解析式，即為直線CD的解析式;

②由①得到直線CD的解析式，即可求出CD與直線y=x的交點坐標，得到△PQR與直線y=x有公共點時x的取值范圍，以及公共部分的面積s與x之間的函數關系式，然后根據二次函數確定其最大值即可。

（1）根據題意，設物線的頂點式為，

將代入得，，

∴拋物線解析式為：.

（2）①作圖如下：

直線的解析式為.

②如下圖：

點，當時，，

解得，

當時，

.

∴當時，；

當時，

，

即時，，

綜上：的最大值為.