Question

如圖（1），直角梯形OABC中，∠A=90°，AB∥CO，且AB=2，OA=2，∠BCO=60°．
（1）求證：△OBC為等邊三角形；
（2）如圖（2），OH⊥BC于點H，動點P從點H出發，沿線段HO向點O運動，動點Q從點O出發，沿線段OA向點A運動，兩點同時出發，速度都為1/秒．設點P運動的時間為t秒，△OPQ的面積為S，求S與t之間的函數關系式，并求出t的取值范圍；
（3）設PQ與OB交于點M，當OM=PM時，求t的值．

Answer 1

解：（1）在Rt△OAB中，AB=2，OA=2，
∴OB===4，
∴∠AOB=30°，∠ABO=60°，
∵AB∥OC，
∴∠BOC=∠ABO=60°，
而∠BCO=60°，
∴△OBC為等邊三角形；

（2）∵OH⊥BC，
∴∠COH=30°，OH=BC=×4=2，
∴∠QOP=60°，OP=2-t，
而OQ=t，
∴S=•OQ•OP•sin∠QOP
=•t（2-t）•
=-t²+t（0＜t＜2）；

（3）∵OM=PM，
∴∠MOP=∠MPO=30°，
而∠QOP=60°
∴∠PQO=90°，
∴OP=2OQ，即2-t=2t，
∴t=．
分析：（1）利用勾股定理求出OB，然后根據含30度的直角三角形三邊的關系得到∠AOB=30°，∠ABO=60°，則∠BOC=∠ABO=60°，在△OBC中有兩60°的角，根據等邊三角形的判定即可得到結論；
（2）根據等邊三角形的性質易得∠COH=30°，OH=BC=2，則∠QOP=60°，OP=2-t，利用三角形的面積公式得到S=•OQ•OP•sin∠QOP，代值即可得到S=-t²+t（0＜t＜2）；
（3）由OM=PM得到∠MOP=∠MPO=30°，則∠PQO=90°，利用含30度的直角三角形三邊的關系得到OP=2OQ，即2-t=2t，解方程即可．
點評：本題考查了直角梯形的性質：上下底平行，有一底角為90°；也考查了等邊三角形的判定與性質、勾股定理以及含30度的直角三角形三邊的關系．