Question

（2012•南寧）已知二次函數y=ax²+bx+1，一次函數y=k（x-1）-

k2

4

，若它們的圖象對于任意的非零實數k都只有一個公共點，則a，b的值分別為（　　）

A．a=1，b=2

B．a=1，b=-2

C．a=-1，b=2

D．a=-1，b=-2

Answer 1

分析：根據題意由y=ax²+bx+1①，y=k（x-1）-

k2

4

②，組成的方程組只有一組解，消去y，整理得，ax²+（b-k）x+1+k+

k2

4

=0，則△=（b-k）²-4a（1+k+

k2

4

）=0，整理得到（1-a）k²-2（2a+b）k+b²-4a=0，由于對于任意的實數k都成立，所以有1-a=0，2a+b=0，b²-4a=0，求出a，b即可．

解答：解：根據題意得，
y=ax²+bx+1①，
y=k（x-1）-

k2

4

②，
解由①②組成的方程組，消去y，整理得，ax²+（b-k）x+1+k+

k2

4

=0，
∵它們的圖象對于任意的實數k都只有一個公共點，則方程組只有一組解，
∴x有兩相等的值，
即△=（b-k）²-4a（1+k+

k2

4

）=0，
∴（1-a）k²-2（2a+b）k+b²-4a=0，
由于對于非零實數k都成立，所以有1-a=0，2a+b=0，
∴b²-4a=0，
∴a=1，b=-2，
故選B．

點評：本題考查了用待定系數法求拋物線的解析式．二次函數的一般式：y=ax²+bx+c（a≠0）；也考查了利用方程組的解的情況確定函數圖象交點的問題，而方程組的解的情況轉化為一元二次方程根的情況．