Question

（2012•濟南）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，以其三邊為直徑向三角形外作三個半圓，矩形EFGH的各邊分別與半圓相切且平行于AB或BC，則矩形EFGH的周長是

48

．

Answer 1

分析：首先取AC的中點O，過點O作MN∥EF，PQ∥EH，由題意可得PQ⊥EF，PQ⊥GH，MN⊥EH，MN⊥FG，PL，KN，OM，OQ分別是各半圓的半徑，OL，OK是△ABC的中位線，又由在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，即可求得個線段長，繼而求得答案．

解答：解：取AC的中點O，過點O作MN∥EF，PQ∥EH，
∵四邊形EFGH是矩形，
∴EH∥PQ∥FG，EF∥MN∥GH，∠E=∠H=90°，
∴PQ⊥EF，PQ⊥GH，MN⊥EH，MN⊥FG，
∵AB∥EF，BC∥FG，
∴AB∥MN∥GH，BC∥PQ∥FG，
∴AL=BL，BK=CK，
∴OL=

1

2

BC=

1

2

×8=4，OK=

1

2

AB=

1

2

×6=3，
∵矩形EFGH的各邊分別與半圓相切，
∴PL=

1

2

AB=

1

2

×6=3，KN=

1

2

BC=

1

2

×8=4，
在Rt△ABC中，AC=

AB2+BC2

=10，
∴OM=OQ=

1

2

AC=5，
∴EH=FG=PQ=PL+OL+OQ=3+4+5=12，EF=GH=MN=OM+OK+NK=5+3+4=12，
∴矩形EFGH的周長是：EF+FG+GH+EH=12+12+12+12=48．
故答案為：48．

點評：此題考查了切線的性質、矩形的性質，三角形中位線的性質以及勾股定理等知識．此題難度較大，解題的關鍵是掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．