Question

已知：，PB=4，以AB為一邊作正方形ABCD，使P、D兩點落在直線AB的兩側．
（1）如圖，當∠APB=45°時，求AB及PD的長；
（2）當∠APB變化，且其它條件不變時，求PD的最大值，及相應∠APB的大小．

Answer 1

解：（1）①如圖，作AE⊥PB于點E， ∵△APE中，∠APE=45°，PA=， ∴AE=PE=×=1， ∵PB=4， ∴BE=PB﹣PE=3， 在Rt△ABE中，∠AEB=90°， ∴AB==． ②如圖，因為四邊形ABCD為正方形，可將 △PAD繞點A順時針旋轉90°得到△P'AB， 可得△PAD≌△P'AB，PD=P'B，PA=P'A． ∴∠PAP'=90°，∠APP'=45°，∠P'PB=90° ∴PP′=PA=2， ∴PD=P′B===； （2）如圖所示，將△PAD繞點A順時針旋轉90° 得到△P'AB，PD的最大值即為P'B的最大值， ∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′=PA=2，PB=4， 且P、D兩點落在直線AB的兩側， ∴當P'、P、B三點共線時，P'B取得最大值（如圖） 此時P'B=PP'+PB=6，即P'B的最大值為6． 此時∠APB=180°﹣∠APP'=135度．