Question

已知：，PB=4，以AB為一邊作正方形ABCD，使P、D兩點落在直線AB的兩側．
（1）如圖，當∠APB=45°時，求AB及PD的長；
（2）當∠APB變化，且其它條件不變時，求PD的最大值，及相應∠APB的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）作輔助線，過點A作AE⊥PB于點E，在Rt△PAE中，已知∠APE，AP的值，根據三角函數可將AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在Rt△ABE中，根據勾股定理可將AB的值求出；
求PD的值有兩種解法，解法一：可將△PAD繞點A順時針旋轉90°得到△P'AB，可得△PAD≌△P'AB，求PD長即為求P′B的長，在Rt△AP′P中，可將PP′的值求出，在Rt△PP′B中，根據勾股定理可將P′B的值求出；
解法二：過點P作AB的平行線，與DA的延長線交于F，交PB于G，在Rt△AEG中，可求出AG，EG的長，進而可知PG的值，在Rt△PFG中，可求出PF，在Rt△PDF中，根據勾股定理可將PD的值求出；
（2）將△PAD繞點A順時針旋轉90°，得到△P'AB，PD的最大值即為P'B的最大值，故當P'、P、B三點共線時，P'B取得最大值，根據P'B=PP'+PB可求P'B的最大值，此時∠APB=180°-∠APP'=135°．
解答：解：（1）①如圖，作AE⊥PB于點E，
∵△APE中，∠APE=45°，PA=，
∴AE=PE=×=1，
∵PB=4，∴BE=PB-PE=3，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∴AB==．
②解法一：如圖，因為四邊形ABCD為正方形，可將
△PAD繞點A順時針旋轉90°得到△P'AB，
可得△PAD≌△P'AB，PD=P'B，PA=P'A．
∴∠PAP'=90°，∠APP'=45°，∠P'PB=90°
∴PP′=PA=2，
∴PD=P′B===；
解法二：如圖，過點P作AB的平行線，與DA的延長線交于F，與DA的
延長線交PB于G．
在Rt△AEG中，
可得AG===，EG=，PG=PE-EG=．
在Rt△PFG中，
可得PF=PG•cos∠FPG=PG•cos∠ABE=，FG=．
在Rt△PDF中，可得，
PD===．

（2）如圖所示，

將△PAD繞點A順時針旋轉90°
得到△P'AB，PD的最大值即為P'B的最大值，
∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′=PA=2，PB=4，
且P、D兩點落在直線AB的兩側，
∴當P'、P、B三點共線時，P'B取得最大值（如圖）
此時P'B=PP'+PB=6，即P'B的最大值為6．
此時∠APB=180°-∠APP'=135度．
點評：考查綜合應用解直角三角形、直角三角形性質，進行邏輯推理能力和運算能力，在解題過程中要求學生充分發揮想象空間，確定P′B取得最大值時點P′的位置．