Question

如圖，在△ABC中，E為高AD上的動點，F是點D關于點E的對稱點（點F在高AD上，且不與A、D重合）．過點F作BC的平行線與AB交于P，與AC交于Q，連接PE并延長交直線BC于點N，連接QE并延長交直線BC于點M，連接PM、QN．
（1）試判斷四邊形PMNQ的形狀，并說明理由；
（2）若要使四邊形PMNQ是一個矩形，則△ABC還應滿足什么條件？請說明理由；
（3）若BC=10，AD=6，則當點E在何處時，四邊形PMNQ的面積與△APQ的面積相等？

Answer 1

分析：（1）根據PQ∥MN可得出∠EPQ=∠ENM，∠EQP=∠EMN，進而可得出△PEQ∽△NEM，再根據相似三角形的性質可得出F、D關于點E對稱，由對稱的性質可得到EF=ED，PQ=MN，進而可判斷出四邊形PMNQ是平行四邊形；
（2）先根據PQ∥BC得出∠APQ=∠B，∠AQP=∠C，再由AB=AC及AF平分PQ可得出EP=EQ，再根據四邊形PMNQ是平行四邊形即可得出結論；
（3）ED=x，四邊形PMNQ的面積與△APQ的面積相等即可得出關于x的方程，求出x的值即可．

解答：解：（1）四邊形PMNQ是平行四邊形．
∵PQ∥MN，
∴∠EPQ=∠ENM；∠EQP=∠EMN，
∴△PEQ∽△NEM，
∵ED⊥MN，EF⊥PQ，
∴

PQ

MN

=

EF

ED

，
∵F、D關于點E對稱，
∴EF=ED，
∴PQ=MN，
∵PQ∥MN，
∴四邊形PMNQ是平行四邊形；

（2）滿足條件：AB=AC，
∵PQ∥BC，
∴∠APQ=∠B，∠AQP=∠C，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠APQ=∠AQP，
∴AP=AQ，
∵AF⊥PQ，
∴AF平分PQ，
∴EP=EQ，
∵四邊形PMNQ是平行四邊形，
∴PE=EN，ME=EQ，
∴PE=EQ=EM=EN，
∴MQ=PN，
∴當AB=AC時，PMNQ是矩形；

（3）設ED=x，
∵S_PMNQ=S_△APQ，
∴PQ×2x=

1

2

PQ×（6-2x），
∴x=1，
∴當ED=1時，四邊形PMNQ與△APQ面積相等．

點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，矩形的判定與性質及四邊形的判定與性質，涉及面較廣，難度較大．