Question

(2007，重慶，28)解答時必須給出必要的演算過程或推理步驟．

已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°．∠BOA=30°，AB=2．若以O為坐標原點，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點B在第一象限內．將Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內的點C處．

(1)求點C的坐標；

(2)若拋物線經過C、A兩點，求此拋物線的解析式；

(3)若拋物線的對稱軸與OB交于點D，點P為線段DB上一點，過P作y軸的平行線，交拋物線于點M．問：是否存在這樣的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

(注：拋物線的頂點坐標為(，)，對稱軸公式為)

Answer 1

答案：略
解析：

解：(1)過點C作CH⊥x軸，垂足為H，因為在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，所以OB=4，． 由折疊知，∠COB=30°，． 所以∠COH=60°，所以，．所以C(，3)． (2)因為拋物線過點、A(，所以解這個方程組，得 所以拋物線的解析式為：． (3)存在． 因為的頂點坐標為即為點C．MP⊥x軸，設垂足為N，PN=t，因為∠BOA=30°，所以，所以 ． 作PQ⊥CD，垂足為Q，ME⊥CD，垂足為E，把代入，得，所以，． 同理，． 要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE=QD．即，解得，(舍)． 所以． 故，存在這樣的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時．