Question

已知，如圖：Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=10，D為△ABC外一點，連接AD，BD，過D作DH⊥AB，垂足為H，交AC于E．
（1）若△ABD是等邊三角形，求DE的長為________；
（2）若BD=AB，且tan∠HDB=，求DE的長為________．
（根據2007年重慶中考題改編）

Answer 1

解：（1）∵△ABD是等邊三角形，
∴DH垂直平分AB且∠ADH=30°，
∴EH是△ABC的中位線，
∵AB=8，BC=10，
∴DH=4，EH=5，
∴DE=4-5；

（2）∵BD=AB，tan∠HDB=，AB=8，DH⊥AB，
∴在Rt△BDH中，DH=，BH=，
∵AB=8，
∴AH=，
∵DH⊥AB，
∴△AHE∽△ABC，
∴AH：AB=EH：BC，
即：8=EH：10，
∴EH=4，
∴DE=-4=．
分析：（1）利用等邊三角形的性質及中位線就可求得DE的長；
（2）DH⊥AB，可證△AHE∽△ABC，利用相似比可計算EH的長，則DE的長可求解．
點評：本題主要考查了等邊三角形的性質及相似三角形的判定及性質．