Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=8，AC=5，BC=7，點D在AB上一動點，線段CD繞點C逆時針旋轉60°得到線段CE，AE的最小值為________

Answer 1

【答案】

【解析】

以AC為邊作等邊△ACF，連接DF，AE，易證△ACE≌△FCD，可得AE=FD，當FD最小時，AE最小，F為定點，D為AB上動點，則FD⊥AB時，FD取得最小值，過C作CM⊥AB于M，過F作FH⊥AB于點H，設AM=x，利用勾股定理解出x=2.5，所以∠CAB=60°，可推出∠FAH=60°，求出FH即為AE的最小值.

解：如圖，以AC為邊作等邊△ACF，連接DF，AE，

∵線段CD繞點C逆時針旋轉60°得到線段CE

∴CE=CD，∠DCE=60°，

∴∠DCE+∠ACD=∠FCA+∠ACD

即∠ACE=∠FCD

在△ACE和△FCD中，

∵AC=FC，∠ACE=∠FCD，CE=CD

∴△ACE≌△FCD（SAS）

∴AE=FD

當FD⊥AB時，FD取得最小值，即為AE的最小值，

如圖，過C作CM⊥AB于M，過F作FH⊥AB于點H，

設AM=x，∵AB=8，AC=5，BC=7

∴BM=8-x，

在Rt△ACM和Rt△BCM中，

∴

解得

∴

∴∠ACM=30°，∠CAM=60°，

∴∠FAH=180°-60°-60°=60°

∴∠AFH=30°，

∴，

∴AE的最小值=FH=.

故答案為：.