Question

如圖，⊙O的直徑AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分線交⊙O于D，
（1）求BC，AD，BD的長．
（2）若∠ABD的角平分線交⊙O于E，EF∥AD，求證直線EF是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直徑所對的角是90°，判斷出△ABC和△ABD是直角三角形，根據圓周角∠ACB的平分線交⊙O于D，判斷出△ADB為等腰直角三角形，然后根據勾股定理求出具體值；
（2）連接OE，要證明直線EF是⊙O的切線，需要轉化證明∠OEF=90°即可．
解答：解：（1）∵AB是直徑
∴∠ACB=∠ADB=90°
在Rt△ABC中，AB²=AC²+BC²，AB=10cm，AC=6cm
∴BC²=AB²-AC²=10²-6²=64
∴BC==8（cm）
又∵CD平分∠ACB
∴
∴AD=BD
又∵在Rt△ABD中，AD²+BD²=AB²
∴AD²+BD²=10²
∴AD=BD==5（cm）；

（2）證明：連接OE，交AD與H，
∵BE平分∠ABF，
∴∠ABE=∠FBE，
∵OB=OE，
∴∠OEB=∠ABE，
∴∠OEB=∠FBE，
∴OE∥BF，
∴∠OHD=∠ADB=90°，
∵EF∥AD，
∴∠OEF=90°，
∴直線EF是⊙O的切線．
點評：本題考查了等腰直角三角形、圓周角定理以及勾股定理，以及切線的判定定理是基礎知識比較簡單．