Question

某商品進價為每件40元，當售價為每件60元時，每星期可賣出300件，市場調查反映，每降價1元每星期可多賣出20件，商品的銷售價最低不能少于40元，設每件商品降價x元．（x為整數）
（1）設每星期銷售量為y件，直接寫出y與x的函數關系及自變量x的取值范圍．
（2）設每星期利潤為w，求出w與x的關系式．
（3）該商品如何定價，才能使每星期利潤最大，最大利潤是多少元？

Answer 1

解：（1）∵商品進價為每件40元，當售價為每件60元時，每星期可賣出300件，每降價1元每星期可多賣出20件，
設每星期銷售量為y件，
∴y=300+20x（0≤x≤20，且x為整數）；
（2）w=（300+20x）（20-x），
=-20x²+100x+6000；
（3）w=-20x²+100x+6000，
=-20（x-2.5）²+6125，
∴x=2或3時w的最大值為6120．
分析：（1）依據題意易得出平均每天銷售量（y）與降價x之間的函數關系式為y=300+20x；
（2）根據銷售利潤=銷售量×（售價-進價），列出平均每天的銷售利潤w（元）與降價x元之間的函數關系式；
（3）再依據函數的增減性求得最大利潤．
點評：此題主要考查了二次函數的性質在實際生活中的應用，最大銷售利潤的問題常利函數的增減性來解答，要注意應該在自變量的取值范圍內求最大值（或最小值），也就是說二次函數的最值在x=時取得．