Question

已知：關于x的一元二次方程（m-1）x²+（m-2）x-1=0（m為實數）
（1）若方程有兩個不相等的實數根，求m的取值范圍；
（2）若m是整數，且關于x的一元二次方程（m-1）x²+（m-2）x-1=0有兩個不相等的整數根，把拋物線y=（m-1）x²+（m-2）x-1向下平移3個單位長度，求平移后的解析式．

Answer 1

解：（1）根據題意得m-1≠0且△=（m-2）²-4（m-1）×（-1）=m²＞0，
解得m≠1且m≠0，
即m的取值范圍為m≠1且m≠0；
（2）解一元二次方程（m-1）x²+（m-2）x-1=0得x=，
∴x₁=-1，x₂=，
∵m為m≠1且m≠0的整數，且方程有兩個不相等的整數根，
∴m=2，
∴拋物線為y=x²-1，
把拋物線y=x²-1向下平移3個單位長度得y=x²-1-3，即y=x²-4．
分析：（1）根據一元二次方程的定義和判別式的意義得到m-1≠0且△=（m-2）²-4（m-1）×（-1）=m²＞0，然后解兩個不等式可得m≠1且m≠0；
（2）利用求根公式得到x=，則x₁=-1，x₂=，由于m為m≠1且m≠0的整數，且方程有兩個不相等的整數根，則m=2，則拋物線變形為y=x²-1，
根據拋物線的幾何變換，把拋物線y=x²-1向下平移3個單位長度得y=x²-1-3．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了一元二次方程的定義以及拋物線的幾何變換．