Question

如圖，形如量角器的半圓O的直徑DE＝12 cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12 cm．半圓O以2 cm/s的速度從左向右運動，在運動過程中，點D、E始終在直線BC上．設運動時間為t (s)，當t＝0 s時，半圓O在△ABC的左側，OC＝8 cm．

(1)當t為何值時，△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切？

(2)當△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切時，如果半圓O與直徑E圍成的區域與△ABC三邊圍成的區域有重疊部分，求重疊部分的面積．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)①如圖1，當點與點重合時，， cm，所以與半圓所在的圓相切．此時點運動了2 cm，所求運動時間為：． 　　②如圖2，當點運動到點時，過點作，垂足為． 　　在Rt△中，， cm，則 cm，即等于半圓的半徑，所以與半圓所在的圓相切．此時點運動了8 cm，所求運動時間為： 　　 　　③如圖3，當點運動到的中點時，， cm，所以與半圓所在的圓相切．此時點運動了14 cm，所求運動時間為： 　　． 　　④如圖4，當點運動到點的右側，且 cm時，過點作直線，垂足為． 　　在Rt△中，，則 cm，即等于半圓所在的圓的半徑，所以直線與半圓所在的圓相切．此時點運動了32 cm，所求運動時間為：． 　　因為半圓在運動中，它所在的圓與所在的直線相切只有上述①、③兩種情形；與所在的直線相切只有上述②、④兩種情形；與所在直線始終相交．所以只有當為，，，時，△的一邊所在的直線與半圓所在圓相切． 　　(2)當△的一邊所在的直線與半圓所在的圓相切時，半圓與直徑圍成的區域與△三邊圍成的區域有重疊部分的只有如圖2與圖3所示的兩種情形． 　　①如圖2，設與半圓的交點為，易知重疊部分是圓心角為，半徑為6 cm的扇形，所求重疊部分面積為：　(cm)． 　　②如圖3，設與半圓的交點為，連接，過點作，垂足為． 　　則．在Rt△中， 　　， cm，則 cm， cm， cm． 　　(cm)． 　　又， 　　(cm)． 　　所求重疊部分面積為：(cm)．