Question

已知：如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB 邊上有一動點P（不與A、B重合），連接DP，作PQ⊥DP，PQ交射線BC于點E，設AP=x。
（1）如果△APD是等腰三角形，求x的值；
（2）若設BE=y，求y關于x的函數關系式；
（3）在（2）的條件下，是否存在點P，使得PQ經過點C？若存在，求出相應的AP的長；若不存在，請說明理由，并直接寫出BC的長在什么范圍內時，存在這樣的點P，使得PQ經過點C。

Answer 1

解：（1）過點D作DH⊥AB于H，則四邊形DHBC為矩形，
∴DH=BC=4，HB=CD=6，
∴AH=2，
∵AP=x，
依題意得2＜x＜8，
∴PH=x-2，
①當AP=AD時，，
②當AD= PD時，有AH=PH，
∴2=x-2，
解得x=4，
③當AP=PD時，
在Rt△DPH中，x²=4²+（x-2）²，
解得x=5，
∵2＜x＜8，
∴△APD是等腰三角形時，，4或5；
（2）∵點P不與點B重合，
∴點E必在線段BC上，易證△DPH∽△PEB，
∴
∴
整理得y=（x-2）（8-x），
即y=-x²+x-4；
（3）假設存在滿足條件的點P，則BE=BC=4，
即y=-x²+x-4=4，
整理，得x²-10x+32=0，
∵△=（-10）² -4×32＜0，
∴此方程無實數解，與假設矛盾，
∴不存在點P，使得PQ經過點C，
 當BC滿足O＜BC≤時，存在點P，使得PQ經過點C。