Question

如圖，半徑為4的⊙O中，CD為直徑，弦AB⊥CD且過半徑OD的中點，點E為⊙O上一動點，CF⊥AE于點F．當點E從點B出發順時針運動到點D時，點F所經過的路徑長為（　�。�

• A．

  3

  π
• B．

  3

  2

  π
• C．

  2 3

  3

  π
• D．

  3

  3

  π

Answer 1

分析：連接AC，AO，由AB⊥CD，利用垂徑定理得到G為AB的中點，由中點的定義確定出OG的長，在直角三角形AOG中，由AO與OG的長，利用勾股定理求出AG的長，進而確定出AB的長，由CO+GO求出CG的長，在直角三角形AGC中，利用勾股定理求出AC的長，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始終為直角三角形，點F的運動軌跡為以AC為直徑的半徑，如圖中紅線所示，當E位于點B時，CG⊥AE，此時F與G重合；當E位于D時，CA⊥AE，此時F與A重合，可得出當點E從點B出發順時針運動到點D時，點F所經過的路徑長

AG

，在直角三角形ACG中，利用銳角三角函數定義求出∠ACG的度數，進而確定出

AG

所對圓心角的度數，再由AC的長求出半徑，利用弧長公式即可求出

AG

的長，即可求出點F所經過的路徑長．

解答：解：連接AC，AO，
∵AB⊥CD，
∴G為AB的中點，即AG=BG=

1

2

AB，
∵⊙O的半徑為4，弦AB⊥CD且過半徑OD的中點，
∴OG=2，
∴在Rt△AOG中，根據勾股定理得：AG=

AO2-OG2

=2

3

，
∴AB=2AG=4

3

，
又∵CG=CO+GO=4+2=6，
∴在Rt△AGC中，根據勾股定理得：AC=

AG2+CG2

=4

3

，
∵CF⊥AE，
∴△ACF始終是直角三角形，點F的運動軌跡為以AC為直徑的半圓，
當E位于點B時，CG⊥AE，此時F與G重合；當E位于D時，CA⊥AE，此時F與A重合，
∴當點E從點B出發順時針運動到點D時，點F所經過的路徑長

AG

，
在Rt△ACG中，tan∠ACG=

AG

CG

=

3

3

，
∴∠ACG=30°，
∴

AG

所對圓心角的度數為60°，
∵直徑AC=4

3

，
∴

AG

的長為

60π×2 3

180

=

2 3

3

π，
則當點E從點B出發順時針運動到點D時，點F所經過的路徑長為

2 3

3

π．
故選C．

點評：此題考查了圓的綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，勾股定理，銳角三角函數定義，弧長公式，以及圓周角定理，其中根據題意得到點E從點B出發順時針運動到點D時，點F所經過的路徑長

AG

，是解本題的關鍵．