Question

20．如圖，在正方形ABCD中，F是AD的中點，BF與AC交于點G．
（1）求證：△AGF∽△CGB；
（2）請求出△BGC與四邊形CGFD的面積之比．

Answer 1

分析 （1）根據正方形的性質得到AF∥BC，根據相似三角形的判定定理即可得到結論；
（2）設正方形的邊長是a，可分別求得△BFC，△ABC，△AFG的面積，從而可求得四邊形CGFD的面積，則不難求△BGC與四邊形CGFD的面積之比．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AF∥BC，
∴△AGF∽△CGB；
（2）解：∵F是AD的中點，
∴AF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，
設正方形的邊長是a，則△BFC的面積是$\frac{1}{2}$a²，△ABC的面積是$\frac{1}{2}$a²，
AF=$\frac{a}{2}$，S_△ABF=$\frac{1}{2}$×$\frac{a}{2}$×a=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
$\frac{FG}{BG}$=$\frac{1}{2}$，
∴S_△AFG=$\frac{1}{3}$S_△AFB=$\frac{{a}^{2}}{12}$，
∵△AGF∽△CGB，
∴$\frac{{S}_{△BGC}}{{S}_{△AGF}}$=$\frac{1}{4}$，
∴S_△BGC=$\frac{{a}^{2}}{3}$，
∴四邊形CGFD的面積a²-$\frac{1}{2}$a²-$\frac{{a}^{2}}{12}$=$\frac{5{a}^{2}}{12}$，
∴△BGC與四邊形CGFD的面積之比是4：5．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，正方形的性質，平行線的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．