Question

【題目】如圖，直線和相交于點C，分別交x軸于點A和點B點P為射線BC上的一點。

（1）如圖1，點D是直線CB上一動點，連接OD，將沿OD翻折，點C的對應點為，連接，并取的中點F，連接PF，當四邊形AOCP的面積等于時，求PF的最大值；

（2）如圖2，將直線AC繞點O順時針方向旋轉α度，分別與x軸和直線BC相交于點S和點R，當是等腰三角形時，直接寫出α的度數.

Answer 1

【答案】（1）PF的最大值是；（2）的度數：，，，.

【解析】

（1）設P（m，-m+6），連接OP．根據S四邊形AOCP=S△AOP+S△OCP=，構建方程求出點P坐標，取OB的中點Q，連接QF，QP，求出FQ，PQ，根據PF≤PQ+QF求解即可．

（2）分四種情形：①如圖2-1中，當RS=RB時，作OM⊥AC于M．②如圖2-2中，當BS=BR時，③如圖2-3中，當SR=SB時，④如圖2-4中，當BR=BS時，分別求解即可解決問題．

解：（1）在中，當時，；

當時，﹒

∴，

設，連接OP

∴

∴

∴ ∴

取OB的中點Q，連接FQ，PQ

在中，當時，

∴ ∴

又∵點F是的中點，

∴

∵

所以PF的最大值是

（2）①如圖2-1中，當RS=RB時，作OM⊥AC于M．

∵tan∠OAC==，

∴∠OAC=60°，

∵OC=OB=6，

∴∠OBC=∠OCB=45°，

∵∠OM′S=∠BRS=90°，

∴OM′∥BR，

∴∠AOM′=∠OBC=45°，

∵∠AOM=30°，

∴α=45°-30°=15°．

②如圖2-2中，當BS=BR時，易知∠BSR=22.5°，

∴∠SOM′=90°-22.5°=67.5°，

∴α=∠MOM′=180°-30°-67.5°=82.5°

③如圖2-3中，當SR=SB時，α=180°-30°=150°．

④如圖2-4中，當BR=BS時，α=150°+（90°-67.5°）=172.5°．

綜上所述，滿足條件的α的值為15°或82.5°或150°或172.5°．