Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，正比例函數y=kx的圖象與反比例函數y=（m≠0）的圖象在第一象限交于點C，△ABC是邊長為3的等邊三角形，且AB邊在x軸額正半軸上，cos∠COA=．

（1）求k，m的值；

（2）點P在射線OC上，且OP=5，動點Q從點P出發先沿著適當的路徑運動到線段AB中垂線上的點M處，再沿垂直于y軸的方向運動到y軸上的點N處，最后沿適當的路徑運動到點A處停止，當點Q的運動路徑最短時，求N點坐標及點Q運動的最短路程；

（3）將△ABC繞點A進行旋轉，在旋轉過程中，設BC所在直線與射線OC相交于點R，與x軸正半軸交于點T，當△ORT為等腰三角形時，求OT的長．

Answer 1

【答案】（1）k=，m=（2）+．（3）OT的長為3+ ﹣或3+或6或3﹣ +．

【解析】

（1）由cos∠COA=，可得∠AOC=30°，求出點C坐標即可解決問題．
（2）如圖2中，作CH⊥AB于H，作PG⊥CH，使得PG=OH，作點A關于y軸的對稱點A′，連接A′G交y軸于N，作NM⊥y軸，交CH于M，此時點Q運動的路徑P→M→N→A最短．
再想辦法求出直線A′G的解析式即可解決問題．
（3）分三種情形討論）①如圖3中，當OR=OT時，作AG⊥BC于G，則AG=，把△ATG放大（如圖4中，在AG上取一點M，使得AM=MT），求出AT即可．②如圖5中，當RO=RT時，作BG⊥AT于G．③如圖6中，當TO=TR時，分別求解即可．

解：（1）如圖1中，作CK⊥AB于K．

∵cos∠COA=，

∴∠AOC=30°，

∵△ABC是等邊三角形，邊長為3，

∴AB=BC=AC=3，∠CAB=∠CBA=∠ACB=60°，

∴∠BCO=90°，

∴OB=2BC=6，OC=，

∴CK=OC=，OK=CK=，

∴點C坐標（，），分別代入正比例函數y=kx的圖象與反比例函數y=，

可得k=，m=．

（2）如圖2中，作CH⊥AB于H，作PG⊥CH，使得PG=OH，作點A關于y軸的對稱點A′，連接A′G交y軸于N，作NM⊥y軸，交CH于M，此時點Q運動的路徑P→M→N→A最短．理由：PM+MN+NA=PG+NG+A′N，=PG+A′G，∵PG=MN=橋長，A′G是線段，兩點之間線段最短，∴PM+MN+NA最短．

∵OP=，∴點P坐標（，），

∵AH=，

∴PG=MN=OH=，

∴G（3，），∵A′（﹣3，0），

設直線A′G的解析式為y=kx+b，則有，

解得，

∴直線A′N的解析式為y=x+，

∴點N坐標（0，），

∵A′G==，

∴點Q運動的最短路程=A′G+PG=+．

（3）①如圖3中，當OR=OT時，作AG⊥BC于G，則AG=，把△ATG放大（如圖4中，在AG上取一點M，使得AM=MT），

∵∠ATG=75°，∠TAG=15°，

∴∠A=∠MTA=15°，

∴∠TMG=30°，設GT=a，則MT=AM=2a，MG=a，

∴2a+a=，

∴a=3﹣，

∴AT===﹣，

∴OT=3+﹣，

②如圖5中，當RO=RT時，作BG⊥AT于G．

∵RO=RT，

∴∠ROT=∠RTO=30°，

∵∠ABC=60°=∠BAT+∠BTA，

∴∠BAT=∠BTA=30°，

∴BA=BT=3，AG=GT=ABcos30°=，

∴AT=，OT=3+．

③如圖6中，當TO=TR時，

∵TO=TR，

∴∠TOR=∠TRO=30°，

∴∠OTR=120°，∠ATR=60°，

∴T與C重合，

∴OT=OA+AC=6．

④如圖7中，由②可知，當OR=OT時，OT=OA﹣AT=3﹣+．

綜上所述，當△ORT為等腰三角形時，OT的長為3+﹣或3+或6或3﹣+．