Question

如圖，已知△ABC內(nèi)接于半徑為4的☉0，過0作BC的垂線，垂足為F，且交☉0于P、Q兩點(diǎn)．OD、OE的長分別是拋物線y=x²+2mx+m²-9與x軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）是否存在直線l，使它經(jīng)過拋物線與x軸的交點(diǎn)，并且原點(diǎn)到直線l的距離是2？如果存在，請求出直線l的解析式；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BO，根據(jù)垂徑定理與圓周角定理可得∠BAC=∠BOQ，再根據(jù)等角的補(bǔ)角相等可得∠BOD=EAD，然后證明△BOD和△EAD相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式整理即可得到OD、OE的關(guān)系，再根據(jù)相交弦定理列式整理出AD、BD的關(guān)系，從而得到OD•OE的值，令y=0，根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問題用m表示出OD•OE，從而得到關(guān)于m的方程，求解得到m的值，再根據(jù)OD、OE都是正數(shù)，且是拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)可得拋物線對稱軸在y軸的右邊求出m的取值范圍，從而得到m的值，代入拋物線計(jì)算即可得解；
（2）根據(jù)拋物線解析式求出與x軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（2，0）（8，0），①當(dāng)直線l經(jīng)過左邊交點(diǎn)時，直線l平行于y軸，原點(diǎn)到直線l的距離是2；②當(dāng)直線l經(jīng)過右邊交點(diǎn)時，是交點(diǎn)為L，過點(diǎn)O作OM⊥l與點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，則OM=2，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出ON的長度，再利用勾股定理求出MN的長度，然后分點(diǎn)M在x軸上方與下方兩種情況，利用待定系數(shù)法求直線解析式求出直線l的解析式．
解答：解：（1）如圖，連接BO，∵OQ⊥BC與F，
∴=，
∴∠BAC=∠BOQ，
∵∠BOD=180°-∠BOQ，∠EAD=180°-∠BAC，
∴∠BOD=EAD，
又∵∠BDO=∠EDA（對頂角相等），
∴△BOD∽△EAD，
∴=，
∴AD•BD=OD•DE，
根據(jù)相交弦定理AD•BD=DQ•DP，
∴OD•DE=DQ•DP，
∵圓的半徑為4，
∴OD（OE-OD）=（4+OD）（4-OD），
整理得，OD•OE=16，
令y=0，則x²+2mx+m²-9=0，
∵OD、OE是拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
∴OD•OE=m²-9，
∴m²-9=16，
解得m=±5，
∵線段OD、OE的長度都是正數(shù)，
∴-=-=-m＞0，
解得m＜0，
∴m=-5，
∴拋物線解析式為y=x²-10x+16；

（2）存在．
理由如下：令y=0，則x²-10x+16=0，
解得x₁=2，x₂=8，
所以，拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），（8，0），
①當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)（2，0）時，直線l平行于y軸時，原點(diǎn)到直線l的距離為2，
所以，直線l的解析式為x=2；
②當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)（8，0）時，如圖，設(shè)點(diǎn)L（8，0），
過點(diǎn)O作OM⊥l與點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，則OM=2，
∵∠OML=∠MNO=90°，∠MON=∠LOM，
∴△OMN∽△OLM，
∴=，
即=，
解得ON=，
在Rt△OMN中，MN===，
設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，
當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，），
則，
解得，
此時直線l的解析式為y=-x+，
當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，-），
則，
解得，
此時直線l的解析式為y=x-，
綜上所述，存在直線l：x=2或y=-x+或y=x-使原點(diǎn)到l的距離為2．
點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了垂徑定理，圓周角定理，相交弦定理，拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，根與系數(shù)的關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求直線解析式，綜合性較強(qiáng)，難度較大，（1）作出輔助線構(gòu)造出相似三角形然后求出OD•OE=16是解題的關(guān)鍵，（2）注意要分情況討論求解．