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(2014•寧波一模)如圖,在正方形ABCD中,對角線AC,BD交于點O,折疊正方形ABCD,使AD落在BD上,點A恰好與BD上的點F重合,展平后,折痕DE分別交AB,AC于點E,G,連接GF,下列結論:①AE=AG;②tan∠AGE=2;③S△DOG=S四邊形EFOG;④四邊形ABFG為等腰梯形;⑤BE=2OG,則其中正確的結論個數為(  )
分析:求出∠AEG、∠AGE的度數即可判斷①;
設EF=x,則AE=x,BE=
2
x,將計算出tan∠AEG即可判斷②;
易得△DOG∽△DFE,求出OG的長度,利用面積比等于相似比平方可判斷③;
根據折疊的性質及平行四邊形的判定可判斷④;
根據前面所求的線段的長度表達式可判斷⑤;
解答:解:∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠DAC=∠ADB=∠ABD=45°,
由折疊的性質可得:∠ADE=∠FDE=
1
2
∠ADB=22.5°,
則∠AEG=90°-∠ADE=67.5°,∠AGE=∠ADE+∠DAC=22.5°+45°=67.5°,
∵∠AGE=∠AEG=67.5°,
∴AE=AG,即①正確;
設EF=x,則AE=x,BE=
2
EF=x,AB=AE+BE=(
2
+1)x,
tan∠AGE=tan∠AEG=
AD
AE
=
AB
AE
=
2
+1.即②錯誤;
∵AB=(
2
+1)x,
∴AO=(1+
2
2
)x,OG=AO-AG=AO-AE=
2
2
x,
易得△DOG∽△DFE,
S△DOG
S△DFE
=(
OG
EF
2=
1
2

∴可得S△DOG=S四邊形EFOG,即③正確;
∵∠AGE=∠FGE(折疊的性質),∠AGE=∠AEG(①已證),
∴∠FGE=∠AEG,
∴GF∥AB,
又∵BF=EF(等腰直角三角形的性質)=AE=AG,
∴四邊形ABFG為等腰梯形,即④正確;
由上面的解答可得:AE=
2
x,OG=
2
2
x,
故可得BE=2OG,即⑤正確.
綜上可得:①③④⑤正確,共4個.
故選C.
點評:本題考查了翻折變換的知識,綜合考查了相似三角形的判定與性質、等腰梯形的判定及正方形的性質,解答本題的關鍵是熟練掌握各個知識點,將所學知識融會貫通,難度較大.
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9
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