Question

已知關于x的方程x²-2（k-1）x+k²=0，
（1）當k為何值時，方程有實數根；
（2）設x₁，x₂是方程的兩個實數根，且x₁²+x₂²=4，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根據△≥0，確定k的取值范圍；
（2）把x₁²+x₂²=4轉化成（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4，再把x₁+x₂=2（k-1），x₁x₂=k²代入，得到關于k的方程，即可求得k的值．

解答：解：（1）要使方程有實數根，必須△≥0
即4（k-1）²-4k²≥0
解得k≤

1

2

，∴當k≤

1

2

時，方程有實數根．

（2）由韋達定理得，x₁+x₂=2（k-1），x₁x₂=k²
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂
=4（k-1）²-2k²
=2k²-8k+4，
∵x₁²+x₂²=4，
∴2k²-8k+4=4
解得k₁=0，k₂=4，
由（1）知k≤

1

2

，∴k=4不合題意，
∴k=0．

點評：此題主要考查了根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．