Question

如圖19，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的切線互相垂直，垂足為D．銳角∠DAB的平分線AC交⊙O于點C，作CD⊥AD，垂足為D，直線CD與AB的延長線交于點E．
【小題1】求證：AC平分∠DAB
【小題2】過點O作線段AC的垂線OE，垂足為E（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
【小題3】若CD＝4，AC＝4，求垂線段OE的長．

Answer 1

【小題1】連接OC，∵CD切⊙O于點C，∴OC⊥CD。
又∵AD⊥CD，∴OC∥AD。∴∠OCA＝∠DAC。∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC。
∴∠OAC＝∠DAC。∴AC平分∠DAB。 ………………………3分
【小題2】過點O作線段AC的垂線OE，如圖所示：…………4分

【小題3】在Rt△ACD中，CD＝4，AC＝4，∴AD＝＝＝8 。                 ∵OE⊥AC，∴AE＝AC＝2。  ∵∠OAE＝∠CAD ，∠AEO＝∠ADC，∴△AEO∽△ADC。
∴＝。∴OE＝×CD＝×4＝。即垂線段OE的長為 。…………8分 解析:
（1）連接OC，由CD為圓O的切線，根據切線性質得到OC與CD垂直，又AD與CD垂直，根據平面上垂直于同一條直線的兩直線平行得到AD與OC平行，由平行得一對內錯角相等，又因為兩半徑OA與OC相等，根據等邊對等角，得到一對相等的角，利用等量代換，即可得到∠DAC=∠OAC，即AC為∠DAB的平分線；
（2）以O為圓心，以大于O到AC的距離為半徑畫弧，與AC交于兩點，分別以這兩點為圓心，以大于這兩點之間距離的一半長為半徑在AC的另一側畫弧，兩弧交于一點，經過此點與點O確定一條直線，即為所求的直線，如圖所示；
（3）在直角三角形ACD中，由CD和AC的長，利用勾股定理求出AD的長，再根據垂徑定理，由OE與AC 垂直，得到E為AC中點，求出AE的長，由（1）推出的角平分線得一對角相等，再由一對直角相等，根據兩對對應角相等的兩三角形相似，由相似得比例即可求出OE的長．