Question

【題目】△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，將線段AB繞點A逆時針旋轉α（0°＜α＜90°）得到線段AD．作射線BD，點C關于射線BD的對稱點為點E．連接AE，CE．

（1）依題意補全圖形；

（2）若α＝20°，直接寫出∠AEC的度數；

（3）寫出一個α的值，使AE＝時，線段CE的長為﹣1，并證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠AEC＝135°；（3）α＝30°，證明見解析

【解析】

（1）作CF⊥BD并延長CF到E使EF＝CF，如圖1，

（2）連結BE，如圖2，利用對稱的性質得BE＝BC，則BC＝BE＝BA，則根據等腰三角形的性質得出∠BCE＝∠BEC，∠BAE＝∠BEA，由四邊形的內角和可計算出∠BCE+∠BEC+∠BAE+∠BEA+∠ABC＝360°，進而得到2（∠BEC+∠BEA）＝270°，即可證得∠BEC+∠BEA＝135°，即∠AEC＝135°；

（3）如圖2，先證明△AGE為等腰直角三角形，則AG＝GE＝1，當α＝30°時，則∠EBC＝30°，進而求得∠ACG＝30°，解直角三角形求得CG＝，即可證得CE＝CG﹣EG＝﹣1．

解：（1）如圖1，

（2）∠AEC＝135°，

證明：過A作AG⊥CE于G．連接AC、BE，如圖2，

由題意，BC＝BE＝BA，

∴∠BCE＝∠BEC，∠BAE＝∠BEA，

∵∠BCE+∠BEC+∠BAE+∠BEA+∠ABC＝360°

∵∠ABC＝90°，

∴2（∠BEC+∠BEA）＝270°，

∴∠BEC+∠BEA＝135°，即∠AEC＝135°，

（3）α＝30°，

證明：∵∠AEC＝135°，

∴∠AEG＝45°，

∵AE＝，

∴AG＝GE＝1，

當α＝30°時，

∴∠EBC＝30°，

∵BC＝BE，

∴∠BCG＝75°，

∵∠BCA＝45°，

∴∠ACG＝30°，

∴，

∴．