Question

（2013•菏澤）如圖所示，在△ABC中，BC=6，E、F分別是AB、AC的中點，動點P在射線EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分線交CE于Q，當CQ=

1

3

CE時，EP+BP=

12

．

Answer 1

分析：延長BQ交射線EF于M，根據三角形的中位線平行于第三邊可得EF∥BC，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠M=∠CBM，再根據角平分線的定義可得∠PBM=∠CBM，從而得到∠M=∠PBM，根據等角對等邊可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根據CQ=

1

3

CE求出EQ=2CQ，然后根據△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求解即可．

解答：解：如圖，延長BQ交射線EF于M，
∵E、F分別是AB、AC的中點，
∴EF∥BC，
∴∠M=∠CBM，
∵BQ是∠CBP的平分線，
∴∠PBM=∠CBM，
∴∠M=∠PBM，
∴BP=PM，
∴EP+BP=EP+PM=EM，
∵CQ=

1

3

CE，
∴EQ=2CQ，
由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，
∴

EM

BC

=

EQ

CQ

=2，
∴EM=2BC=2×6=12，
即EP+BP=12．
故答案為：12．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，角平分線的定義，平行線的性質，延長BQ構造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．