Question

已知關于x的一元二次方程x²-4x+1-2k=0有兩個不等的實根，
（1）求k的取值范圍；
（2）若k取小于1的整數，且此方程的解為整數，則求出此方程的兩個整數根；
（3）在（2）的條件下，二次函數y=x²-4x+1-2k與x軸交于A、B兩點（A點在B點的左側），D點在此拋物線的對稱軸上，若
∠DAB=60°，求D點的坐標．

Answer 1

解：（1）∵關于x的一元二次方程x²-4x+1-2k=0有兩個不等的實根，
∴△=（-4）²-4×1×（1-2k）=12+8k＞0，
解得，k＞-；

（2）∵k取小于1的整數，
∴k=-1或0，
①當k=-1時，方程為x²-4x+3=0，
即（x-2）²=1，
∴x-2=1或x-2=-1，
解得x₁=3，x₂=1，
②當k=0時，方程為x²-4x+1=0，
即（x-2）²=3，
∵方程的解為整數，
∴k=0不符合，
∴k=-1，此時方程的兩個整數根是x₁=3，x₂=1；

（3）如圖所示，根據（2），二次函數解析式為，y=x²-4x+3，
∴點A、B的坐標分別為A（1，0），B（3，0），
∴對稱軸為x=2，
∴AC=（3-1）=1，
∵∠DAB=60°，
∴AD=2AC=2，
∴CD===，
當點D在AB的上方時，坐標為（2，），在AB的下方時，坐標為（2，-），
∴點D的坐標為（2，）或（2，-）．
分析：（1）根據根的判別式，有兩個不等的實根，根的判別式△=b²-4ac＞0列出關于k的不等式12+8k＞0，求解即可得到k的取值范圍；
（2）利用（1）中k的取值范圍求得k的整數解，然后將其代入關于x的一元二次方程x²-4x+1-2k=0并整理，再根據配方法進行求解；
（3）先求出二次函數的解析式，然后求出拋物線與x軸的交點，從而得到對稱軸的解析式以及AB的長度，再根據∠DAB=60°求出點D到x軸的距離，然后根據點D在AB的上方與下方兩種情況討論得解．
點評：本綜合考查了根的判別式，一元二次方程的解法以及二次函數的性質，拋物線與x軸的交點情況，綜合性較強，但難度不是很大，根據整數根求出k的值是解題的關鍵．