Question

【題目】在如圖所示的平面直角坐標系中，拋物線y=﹣ x2+bx+c過點A（0，4）和C（8，0），點P（t，0）是線段OC上的動點，PB⊥PA，且PB= PA，過點B作x軸的垂線，過點A作y軸的垂線，兩直線相交于點D；

（1）求拋物線的解析式；
（2）當t為何值時，點D落在拋物線上；
（3）是否存在t，使得以A，B，D為頂點的三角形與△AOP相似？若存在，求此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=﹣ x2+bx+c過點A（0，4）和C（8，0），

∴ ，

解得 ．

故所求的拋物線解析式為：y=﹣ x2+ x+4；

（2）解：∵∠AOP=∠PEB=90°，∠OAP=∠EPB=90°﹣∠APO，

∴△AOP∽△PEB且相似比為 = =2，

∵AO=4，

∴PE=2，OE=OP+PE=t+2，

又∵DE=OA=4，

∴點D的坐標為（t+2，4），

∴點D落在拋物線上時，有﹣ （t+2）2+ （t+2）+4=4，

解得t=3或t=﹣2，

∵t＞0，

∴t=3．

故當t為3時，點D落在拋物線上；

（3）解：存在t，能夠使得以A、B、D為頂點的三角形與△AOP相似，理由如下：

①當0＜t＜8時，如圖1．

若△POA∽△ADB，則PO：AD=AO：BD，

即t：（t+2）=4：（4﹣ t），

整理，得t2+16=0，

∴t無解；

若△POA∽△BDA，同理，解得t=﹣2±2 （負值舍去）；

②當t＞8時，如圖2．

若△POA∽△ADB，則PO：AD=AO：BD，

即t：（t+2）=4：（ t﹣4），

解得t=8±4 （負值舍去）；

若△POA∽△BDA，同理，解得t無解．

綜上可知，當t=﹣2+2 或8+4 時，以A、B、D為頂點的三角形與△AOP相似．

【解析】先將A、C兩點的坐標代入拋物線y=﹣ x2+bx+c，利用待定系數法求出b、c的值即可；（2）先判斷出△AOP∽△PEB得出其相似比，進而求出D點的坐標，代入y=﹣ x2+ x+4即可求出t的值；（3）存在t，能夠使得以A、B、D為頂點的三角形與△AOP相似，①當0＜t＜8時，若△POA∽△ADB，則PO：AD=AO：BD，從而t：（t+2）=4：（4﹣ t）無解，若△POA∽△BDA，同理，解得t=﹣2±2 （負值舍去），②當t＞8時若△POA∽△ADB，則PO：AD=AO：BD，即t：（t+2）=4：（ t﹣4），解得t=8±4 （負值舍去），若△POA∽△BDA，同理，解得t無解．綜上所述得出結論。