Question

如圖，拋物線交x軸于點A（-2，0），點B（4，0），交y軸于點C（0，-4）．
（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點D的坐標(biāo)；
（2）若直線y=-x交拋物線于M，N兩點，交拋物線的對稱軸于點E，連接BC，EB，EC．試判斷△EBC的形狀，并加以證明；
（3）設(shè)P為直線MN上的動點，過P作PF∥ED交直線MN下方的拋物線于點F．問：在直線MN上是否存在點P，使得以P、E、D、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P及相應(yīng)的點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）小題把已知點A B C的坐標(biāo)代入解析式即可求出拋物線的解析式；
（2）小題利用解析式y(tǒng)=-x，求出ON是∠BOC的平分線，進(jìn)一步證出MN是BC的垂直平分線，就能判斷三角形的形狀；
（3）小題利用已知點的坐標(biāo)和平行四邊形的性質(zhì)設(shè)出P點的坐標(biāo)就能分別求出未知點P  F的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)所求的拋物線解析式y(tǒng)=ax²+bx+c，
∵點A、B、C均在此拋物線上，
∴

4a-2b+c=0 16a+4b+c=0 c=-4

∴

a= 1 2 b=-1 c=-4

∴所求的拋物線解析式為y=

1

2

x2-x-4，
即y=

1

2

（x-1）²-

9

2

，
∴頂點D的坐標(biāo)為（1，-

9

2

），

（2）△EBC的形狀為等腰三角形，
證明：
∵直線MN的函數(shù)解析式為y=-x，
∴ON是∠BOC的平分線，
∵B、C兩點的坐標(biāo)分別為（4，0），（0，-4），
∴CO=BO=4，
∴MN是BC的垂直平分線，
∴CE=BE，
即△ECB是等腰三角形，

（3）答：存在，
∵PF∥ED，
∴要使以P、E、D、F為頂點的四邊形是平行四邊形，只要使PF=ED，
∵點E是拋物線的對稱軸和直線的交點，
∴E點的坐標(biāo)為（1，-1），
∴ED=-1-（-

9

2

）=

7

2

，
∵點P是直線上的動點，
∴設(shè)P點的坐標(biāo)為（k，-k），
則直線PF的函數(shù)解析式為x=k，
∵點F是拋物線和直線PF的交點，
∴F的坐標(biāo)為（k，

1

2

k2-k-4），
∴PF=-k-(

1

2

k2-k-4)=-

1

2

k2+4，
∴-

1

2

k2+4=

7

2

，
∴k=±1，
當(dāng)k=1時，點P的坐標(biāo)為（1，-1），F(xiàn)的坐標(biāo)為（1，

y

2

），
此時PF與ED重合，不存在以P、F、D、E為頂點的平行四邊形，
當(dāng)k=-1時，點P的坐標(biāo)為（-1，1），F(xiàn)的坐標(biāo)為（-1，-

5

2

），
此時，四邊形PFDE是平行四邊形．

點評：解此題的關(guān)鍵是檢查對求拋物線的解析式的掌握（即已知拋物線上點的坐標(biāo)求解析式），能利用點的坐標(biāo)特點解決幾何問題（判斷三角形的形狀）．突破點是利用平行四邊形的性質(zhì)求出P、F 的坐標(biāo)，并進(jìn)行分類討論進(jìn)一步求出答案．