Question

（2008•泰安）四邊形ABCD的對角線AC、BD的長分別為m、n，可以證明當AC⊥BD時（如左圖），四邊形ABCD的面積S=mn，那么當AC、BD所夾的銳角為θ時（如圖），四邊形ABCD的面積S=    ．（用含m、n、θ的式子表示）

Answer 1

【答案】分析：設AC、BD交于O點，在①圖形中，設BD=m，OA+OC=n，所以S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△BDC，由此可以求出四邊形的面積；
在②圖形中，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，由于AC、BD夾角為θ，所以AE=OA•sinθ，CF=OC•sinθ，∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△BDC=BD•AE+BD•CF=BD•（AE+CF ），由此也可以求出面積．
解答：解：如圖，設AC、BD交于O點，在①圖形中，設BD=m，OA+OC=n，
所以S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△BDC=m•OC+m•OA=mn；
在②圖形中，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
由于AC、BD夾角為θ，
所以AE=OA•sinθ，CF=OC•sinθ，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△BDC
=BD•AE+BD•CF
=BD•（AE+CF）=mnsinθ．
故填空答案：mnsinθ．
點評：此題比較難，解題時關鍵要找對思路，即原四邊形的高已經發生了變化，只要把高求出來，一切將迎刃而解．