Question

（本題12分）閱讀材料：如圖1，過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在△ABC內部的線段的長度叫△ABC的“鉛垂高”（h）.我們可行出生種計算三角形面積的新方示：，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.

 

解答下列問題:

如圖2，拋物線頂點C（1，4），交x軸于點A（3，0），交y軸于點B.

（1）求拋物線和直線AB的解析式；

（2）求△ABC的鉛垂高CD及S_△ABC

（3）設點P是拋物線（在第一象限內）上的一個動點，是否存在一點P，使，

 

若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）設拋物線的解析式為： 

把A（3，0）代入解析式得 a(3-1)²+4=0.  解得

所以 ……………………………………… 2分

設直線AB的解析式為：

由求得B點的坐標為

把，代入得

 

解得：

所以   ……………………………………………………………  4分

（2）因為C點坐標為（1，4）所以當x＝１時， y₂＝2

所以CD＝4-2＝2  ……… 5分

 …………………………………………………………  6分

 

（3）假設存在符合條件的點P，設P點的橫坐標為x，△PAB的鉛垂高為h，則

由S_△PAB=S_△CAB    得：

 

化簡得：   

解得    …………………………………………………………………  10分

 

將代入中，得.

 

所以存在符合條件的P點,其坐標為 ………………………………  12分

 

【解析】略