Question

【題目】 （2016貴州貴陽第18題）（10分）如圖，點E正方形ABCD外一點，點F是線段AE上一點，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，連接CE、CF．

（1）求證：△ABF≌△CBE；

（2）判斷△CEF的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）△CEF是直角三角形．

【解析】

試題分析：（1）由四邊形ABCD是正方形可得出AB=CB，∠ABC=90°，再由△EBF是等腰直角三角形可得出BE=BF，通過角的計算可得出∠ABF=∠CBE，利用全等三角形的判定定理SAS即可證出△ABF≌△CBE；

（2）根據△EBF是等腰直角三角形可得出∠BFE=∠FEB，通過角的計算可得出∠AFB=135°，再根據全等三角形的性質可得出∠CEB=∠AFB=135°，通過角的計算即可得出∠CEF=90°，從而得出△CEF是直角三角形．

試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，∴BE=BF，∴∠ABC﹣∠CBF=∠EBF﹣∠CBF，∴∠ABF=∠CBE．

在△ABF和△CBE中，∵AB=CB，∠ABF=∠CBE，BF=BE，∴△ABF≌△CBE（SAS）．

（2）解：△CEF是直角三角形．理由如下：

∵△EBF是等腰直角三角形，∴∠BFE=∠FEB=45°，∴∠AFB=180°﹣∠BFE=135°，又∵△ABF≌△CBE，∴∠CEB=∠AFB=135°，∴∠CEF=∠CEB﹣∠FEB=135°﹣45°=90°，∴△CEF是直角三角形．