Question

如圖，等腰△ABC中，AB=AC，點D是AC上一動點，點E在BD的延長線上，且AB=AE，AF平分∠CAE交DE于F．

（1）如圖1，連CF，求證：∠ABE=∠ACF；
（2）如圖2，當∠ABC=60゜時，求證：AF+EF=FB；
（3）如圖3，當∠ABC=45゜時，若BD平分∠ABC，求證：BD=2EF．

Answer 1

分析：（1）證△EAF≌△CAF，推出EF=CF，∠E=∠ACF，根據等腰三角形性質推出∠E=∠ABF，即可得出答案；
（2）在FB上截取BM=CF，連接AM，證△ABM≌△ACF，推出EF=FC=BM，AF=AM，推出△AMF是等邊三角形，推出MF=AF，即可得出答案；
（3）連接CF，延長BA、CF交N，證△BFC≌△BFN，推出CN=2CF=2EF，證△BAD≌△CAN，推出BD=CN，即可得出答案．

解答：證明：（1）∵AF平分∠CAE，
∴∠EAF=∠CAF，
∵AB=AC，AB=AE，
∴AE=AC，
在△ACF和△AEF中，

AE=AC ∠EAF=∠CAF AF=AF

，
∴△ACF≌△AEF（SAS），
∴∠E=∠ACF，
∵AB=AE，
∴∠E=∠ABE，
∴∠ABE=∠ACF．

（2）連接CF，
∵△ACF≌△AEF，
∴EF=CF，∠E=∠ACF=∠ABM，
在FB上截取BM=CF，連接AM，
在△ABM和△ACF中，

AB=AC ∠ABM=∠ACF BM=CF

，
∴△ABM≌△ACF（SAS），
∴AM=AF，∠BAM=∠CAF，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°，
∵AM=AF，
∴△AMF為等邊三角形，
∴AF=AM=MF，
∴AF+EF=BM+MF=FB，
即AF+EF=FB．

（3）連接CF，延長BA、CF交N，
∵∠ABC=45°，BD平分∠ABC，AB=AC，
∴∠ABF=∠CBF=22.5°，∠ACB=45°，∠BAC=180°-45°-45°=90°，
∴∠ACF=∠ABF=22.5°，
∴∠BFC=180°-22.5°-45°-22.5°=90°，
∴∠BFN=∠BFC=90°，
在△BFN和△BFC中

∠NBF=∠CBF BF=BF ∠BFN=∠BFC

∴△BFN≌△BFC（ASA），
∴CF=FN，
即CN=2CF=2EF，
∵∠BAC=90°，
∴∠NAC=∠BAD=90°，
在△BAD和△CAN中

∠ABD=∠ACN AB=AC ∠BAD=∠CAN

∴△BAD≌△CAN（ASA），
由第二問得CF=EF，
∴BD=CN=2CF=2EF．

點評：本題考查了等邊三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質和判定的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理的能力，難度偏大．