Question

在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，已知a=3，b和c是關于x的方程x2+mx+2-

1

2

m=0的兩個實數根．
（1）求△ABC的周長．
（2）求△ABC的三邊均為整數時的外接圓半徑．

Answer 1

分析：（1）此題分兩種情況考慮：一是b和c中有一個和a相等，是3；二是b=c，即根據方程有兩個相等的實數根，由△=0求解．最后注意看是否符合三角形的三邊關系．
（2）根據（1）中求解的結果，只需求得2，3，3的三角形的外接圓的半徑，根據等腰三角形的三線合一和勾股定理求解．

解答：解：（1）若b、c中有一邊等于3，
則方程可化為9+3m+2-

1

2

m=0，
解得m=-

22

5

；
原方程可化為x2-

22

5

x+

21

5

=0，
解得x₁=3，x₂=

7

5

，
所以三角形的周長為3+3+

7

5

=7

2

5

；
若b=c，則△=m2-4(2-

1

2

m)=0，
解得m=-4或2，
當m=-4時，方程為x²-4x+4=0，得x₁=x₂=2，
所以三角形的周長為2+2+3=7；
當m=2時，方程為x²+2x+1=0，得x₁=x₂=-1；（不合題意，舍去）
綜上可知△ABC的周長為7

2

5

或7．

（2）作△ABC的外接圓⊙O，連接AO并延長交⊙O于點D、交BC于E，連接BO，則有AE⊥BC．
∵△ABC的三邊均為整數，
∴AB=AC=2，BC=3，
BE=

1

2

BC=

3

2

．AE=

AB2-BE2

=

4- 9 4

=

7

2

，
設AO=R，在Rt△BOE中，R²=（

3

2

）²+（

7

2

-R）²，
∴R=

4 7

7

，
∴△ABC的三邊均為整數時的外接圓半徑為

4 7

7

．

點評：注意（1）中的多種情況，能夠熟練結合等腰三角形的三線合一和勾股定理求得等腰三角形的外接圓的半徑．