Question

（2008•鎮江）如圖，在直角坐標系xOy中，點P為函數y=x²在第一象限內的圖象上的任一點，點A的坐標為（0，1），直線l過B（0，-1）且與x軸平行，過P作y軸的平行線分別交x軸，l于C，Q，連接AQ交x軸于H，直線PH交y軸于R．
（1）求證：H點為線段AQ的中點；
（2）求證：①四邊形APQR為平行四邊形；②平行四邊形APQR為菱形；
（3）除P點外，直線PH與拋物線y=x²有無其它公共點并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由點的坐標知OA=OB，O為A，B的中點，利用三角形中位線定理可得（1）結論；
（2）要證四邊形為平行四邊形，由題找到兩對邊平行且相等，就可以了．在進一步證菱形，驗證平行四邊形相鄰邊相等就行了；
（3）判斷有無公共點，要聯立方程，看方程是否有解，若有解就存在．
解答：（1）證明：∵A（0，1），B（0，-1），
∴OA=OB．（1分）
又∵BQ∥x軸，
∴HA=HQ；（2分）

（2）證明：①由（1）可知AH=QH，∠AHR=∠QHP，
∵AR∥PQ，
∴∠RAH=∠PQH，
∴△RAH≌△PQH．（3分）
∴AR=PQ，
又∵AR∥PQ，
∴四邊形APQR為平行四邊形．（4分）
②設P（m，m²），
∵PQ∥y軸，則Q（m，-1），則PQ=1+m²．
過P作PG⊥y軸，垂足為G．
在Rt△APG中，AP=+1=PQ，
∴平行四邊形APQR為菱形；（6分）

（3）解：設直線PR為y=kx+b，
由OH=CH，得H（，0），P（m，m²）．
代入得：，
∴．
∴直線PR為．（7分）
設直線PR與拋物線的公共點為（x，x²），代入直線PR關系式得：x²-x+m²=0，（x-m）²=0，
解得x=m．得公共點為（m，m²）．
所以直線PH與拋物線y=x²只有一個公共點P．（8分）
點評：此題考查函數性質及三角形中位線定理，判斷平行四邊形及菱形的判斷定理，最后把求公共點的問題，轉化為判斷方程有無解的問題．