Question

在矩形ABCD中，將點A翻折到對角線BD上的點M處，折痕BE交AD于點E．將點C翻折到對角線BD上的點N處，折痕DF交BC于點F．
（1）求證：四邊形BFDE為平行四邊形；
（2）若四邊形BFDE為菱形，且AB=2，求BC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）證△ABE≌△CDF，推出AE=CF，求出DE=BF，DE∥BF，根據平行四邊形判定推出即可．
（2）求出∠ABE=30°，根據直角三角形性質求出AE、BE，即可求出答案．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∵在矩形ABCD中，將點A翻折到對角線BD上的點M處，折痕BE交AD于點E．將點C翻折到對角線BD上的點N處，
∴∠ABE=∠EBD=∠ABD，∠CDF=∠CDB，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中

∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴DE=BF，DE∥BF，
∴四邊形BFDE為平行四邊形；

（2）解：∵四邊形BFDE為為菱形，
∴BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABE=30°，
∵∠A=90°，AB=2，
∴AE==，BE=2AE=，
∴BC=AD=AE+ED=AE+BE=+=2．
點評：本題考查了平行四邊形的判定，菱形的性質，矩形的性質，含30度角的直角三角形性質的應用，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力．