Question

在矩形ABCD中，將點(diǎn)A翻折到對(duì)角線BD上的點(diǎn)M處，折痕BE交AD于點(diǎn)E．將點(diǎn)C翻折到對(duì)角線BD上的點(diǎn)N處，折痕DF交BC于點(diǎn)F．

（1）求證：四邊形BFDE為平行四邊形；

（2）若四邊形BFDE為菱形，且AB＝2，求BC的長(zhǎng)．

 

Answer 1

【答案】

（1）證△ABE≌△CDF，推出AE=CF，求出DE=BF，DE∥BF，根據(jù)平行四邊形判定推出即可。

（2）

【解析】

分析：（1）證△ABE≌△CDF，推出AE=CF，求出DE=BF，DE∥BF，根據(jù)平行四邊形判定推出即可。

（2）求出∠ABE=30°，根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出AE、BE，即可求出答案。

解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD。∴∠ABD=∠CDB。

∵在矩形ABCD中，將點(diǎn)A翻折到對(duì)角線BD上的點(diǎn)M處，折痕BE交AD于點(diǎn)E．將點(diǎn)C翻折到對(duì)角線BD上的點(diǎn)N處，

∴∠ABE=∠EBD=∠ABD，∠CDF=∠CDB。∴∠ABE=∠CDF。

在△ABE和△CDF中，∵，

∴△ABE≌△CDF（ASA）。∴AE=CF。

∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC。

∴DE=BF，DE∥BF。∴四邊形BFDE為平行四邊形。

（2）∵四邊形BFDE為為菱形，∴BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE。

∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠ABC=90°。∴∠ABE=30°。

∵∠A=90°，AB=2，∴，。

∴BC=AD=AE+ED=AE+BE=。