Question

【題目】如圖，點(diǎn)P是反比例函數(shù)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，軸于點(diǎn)A，在直線上截取點(diǎn)B在第一象限，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，連接AC、BC、OC．

填空：______，______；

求證：∽；

隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說明理由，若不變，則求出它的大小．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）證明見解析（3）120°

【解析】

（1）過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，由點(diǎn)C的坐標(biāo)可得出OE，CE的長(zhǎng)度，進(jìn)而可求出OC的長(zhǎng)度及∠AOC的度數(shù)，由直線OB的解析式可得出∠BOF的度數(shù)，再利用∠BOC=180°﹣∠AOC﹣∠BOF即可求出∠BOC的度數(shù)；

（2）由（1）可知∠AOC=∠BOC，由點(diǎn)P是反比例函數(shù)y（x＜0）圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出PAOA=16，結(jié)合OB=PA及OC=4，可得出，結(jié)合∠AOC=∠BOC即可證出△AOC∽△COB；

（3）由△AOC∽△COB利用相似三角形的性質(zhì)可得出∠CAO=∠BCO．在△AOC中，利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠CAO+∠OCA=120°，進(jìn)而可得出∠BCO+∠OCA=120°，即∠ACB=120°．

（1）過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖所示．

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，2），∴OE=2，CE=2，∴OC4．

∵tan∠AOC，∴∠AOC=60°．

∵直線OB的解析式為yx，∴∠BOF=60°，∴∠BOC=180°﹣∠AOC﹣∠BOF=60°．

故答案為：4；60°．

（2）∵∠AOC=60°，∠BOC=60°，∴∠AOC=∠BOC．

∵點(diǎn)P是反比例函數(shù)y（x＜0）圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，∴PAOA=16．

∵PA=OB，∴OBOA=16=OC2，即，∴△AOC∽△COB．

（3）∠ACB=120°，不會(huì)發(fā)生變化．理由如下：

∵△AOC∽△COB，∴∠CAO=∠BCO．

在△AOC中，∠AOC=60°，∴∠CAO+∠OCA=120°，∴∠BCO+∠OCA=120°，即∠ACB=120°．