Question

先閱讀下面材料，然后解答問題：
王老師在黑板上出了這樣一道習題：設方程2x²-5x+k=0的兩個實數根是x₁，x₂，請你選取一個適當的k值，求

x2

x1

+

x1

x2

的值．
小明同學取k=4，則方程是2x²-5x+4=0．
由根與系數的關系，得x₁+x₂=

5

2

，x₁x₂=2．
∴

x2

x1

+

x1

x2

=

x22+x12

x1x2

=

(x1+x2)2-2x1x2

x1x2

=

25 4 -2×2

2

=

9

8

即

x2

x1

+

x1

x2

=

9

8

．
問題（1）：請你對小明解答的正誤作出判斷，并說明理由．
問題（2）：請你另取一個適當的正整數k，其它條件不變，不解方程，改求|x₁-x₂|的值．

Answer 1

分析：（1）使用根與系數的關系列式計算時要先判斷該方程是否存在實根，然后再代入數值計算；
（2）要求|x₁-x₂|的值可以把它變形為|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

，然后利用根與系數的關系即可求出值．

解答：解：（1）小明的解法是錯誤的．
∵當k=4時，△=25-4×2×4=25-32=-7＜0，
∴方程2x²-5x+4=0沒有實數根，
本題無解．
所以他選擇的k不正確；

（2）（本題答案不唯一，k可以取1、2、3）
如：取k=3時，方程2x²-5x+3=0
∴△=25-4×2×3=25-24=1＞0
由根與系數關系得
x₁+x₂=

5

2

，x₁x₂=

3

2

，
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

25 4 -4× 3 2

=

1

2

．

點評：解題時一定要認真審題，周密考慮問題．在利用根與系數的關系解決問題時經常與根的判別式相聯系．