Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB邊上一點，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點E，連結DE并延長，與BC的延長線交于點F．
（1）求證：BD=BF；
（2）若BC=6，AD=4，求sinA的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角形中位線定理證得OE∥BC．所以由平行線的性質、等腰三角形的性質推知∠ODE=∠F，則易證得結論；
（2）設⊙O半徑為r．根據相似三角形△AOE∽△ABC的對應邊成比例列出關于半徑r的方程，通過解方程即可求得r的值．然后通過解Rt△AOE來求sinA的值．
解答：（1）證明：連結OE．
∵AC切⊙O于E，
∴OE⊥AC，
又∵∠ACB=90°即OE⊥AC，
∴OE∥BC
∴∠OED=∠F．
又∵OD=OE，
∴∠OED=∠ODE，
∴∠ODE=∠F
∴BD=BF；

（2）解：設⊙O半徑為r，由（1）知，OE∥BC得△AOE∽△ABC．
∴，即，
∴r²-r-12=0，
解之得r₁=4，r₂=-3（舍去）．
在Rt△AOE中，
∴sinA=．
點評：本題考查了切線的性質，相似三角形的判定與性質．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．