Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=15，tanA=

4

3

，E為線AC上一點（不與A、C重合），過點E作ED⊥AC交線段AB于點D，將△ADE沿著直線DE翻折，A的對應點G落在射線AC上，線段DG與線段BC交于點M．
（1）若BM=8，求證：EM∥AB；
（2）設EC=x，四邊形的ADMC的面積為S，求S關于x的函數解析式，并寫出定義域．

Answer 1

分析：（1）根據三角函數先在Rt△ACB中，求出AC=9，BC=12，MC=4．再在Rt△MCG中，求出CG=3．可得AG=12，EC=3，AE=6，根據平行線分線段成比例即可證明EM∥AB；
（2）根據S_ADMC=S_△ABC-S_△DBM，即可得出S關于x的函數解析式．

解答：解：（1）在Rt△ACB中，tanA=

BC

AC

=

4

3

，設AC=3k，BC=4k，（1分）
則AB=

AC2+BC2

=

(3k)2+(4k)2

=5k，AB=5k=15，k=3．
∴AC=9，BC=12．（2分）
∵BM=8，
∴MC=4（1分）
在Rt△MCG中，tanG=tanA=

MC

GC

=

4

3

，
∴CG=3．（1分）
∴AG=12，EC=3，AE=6．（1分）
∵

CM

BM

=

EC

AE

=

1

2

，
∴EM∥AB；（1分）

（2）EC=x，由題意有EG=AE=9-x，則CG=9-2x，（1分）
CM=

4

3

(9-2x)，BM=12-

4

3

（9-2x），（1分）
S_ADMC=54-

1

2

[12-

4

3

(9-2x)]•x=-

4

3

x2+54（0＜x＜4.5）．（3分）

點評：本題綜合考查了平行線分線段成比例，三角函數的知識及組合圖形的面積之間的關系，函數解析式，有一點的難度．