Question

（2012•南開區一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點D，已知∠D=30°．
（1）求∠A的度數；
（2）若點F在⊙O上，CF⊥AB，垂足為E，CF=，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，則△OCD是直角三角形，可求出∠COD的度數；由于∠A與∠COD是同弧所對的圓周角與圓心角．根據圓周角定理即可求得∠A的度數；
（2）由圖可知：陰影部分的面積是扇形OCB和Rt△OEC的面積差；那么解決問題的關鍵是求出半徑和OE的長；在Rt△OCE中，∠OCE=∠D=30°，已知了CE的長，通過解直角三角形，即可求出OC、OE的長，由此得解．
解答：解：（1）連接OC，
∵CD切⊙O于點C
∴∠OCD=90°（1分）
∵∠D=30°
∴∠COD=60°（2分）
∵OA=OC
∴∠A=∠ACO=30°；（4分）

（2）∵CF⊥直徑AB，CF=
∴CE=（5分）
∴在Rt△OCE中，tan∠COE=，
OE===2，
∴OC=2OE=4（6分）
∴S_扇形BOC=，（8分）
∴S_陰影=S_扇形BOC-S_△EOC=．（10分）
點評：本題主要考查了切線的性質、垂徑定理以及扇形面積的計算方法．不規則圖形的面積，可以轉化為幾個規則圖形的面積的和或差來求．