Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，⊙O的割線PDE垂直于AB于點F，交BC于點G，∠A=∠BCP．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若點C在劣弧

AD

上運動，其他條件不變，問應再具備什么條件可使結論BG²=BF•BO成立？（要求畫出示意圖并說明理由）
（3）在滿足問題（2）的條件下，你還能推出哪些形如BG²=BF•BO的正確結論？（要求：不再標注其他字母，找結論的過程中所作的輔助線不能出現在結論中，不寫推理過程，寫出不包括BG²=BF•BO的7個結論）

Answer 1

分析：（1）證PC是⊙O的切線，即證∠OCP=90°，而∠OCP=∠BCP+∠OCB=∠A+∠OBC，因為AB為直徑，直徑所對的圓周角為直角，即可證明．
（2）BG²=BF•BO要成立，Rt△BFG和Rt△BGO必須相似，而他們已經共用了一角B，所以如果相似，則必有∠BFG=∠BGO=90°，根據垂徑定理，G點必在BC中點處．
（3）在（2）成立的前提下，只要找出一組組的相似三角形，就可以進行解答．

解答：（1）證明：連接OC
∵OA=OC
∴∠A=∠OCA
∵AB為直徑
∴∠OCA+∠OCB=90°
∴∠OCP=∠BCP+∠OCB=90°
即PC是⊙O的切線．

（2）解：添加條件為：G為BC的中點．
連接OG
∵G為BC的中點
∴OG⊥BC又FG⊥BO
∴Rt△BFG∽Rt△BGO
∴

BG

BO

=

BF

BG

即BG2=BF•BO

（3）解：①CG²=BF•BD
②EF²=AF•FB
③PC²=PD•PE
④PG²=PD•PE
⑤CG²=DG•GE
⑥DF²=AF•FB
⑦FG²=OF•FB

點評：此題主要考查了相似三角形的判定及切線判定的理解及運用．