Question

（2012•鼓樓區二模）如圖，有A、B、C三種不同型號的卡片，每種卡片各有k張．其中A型卡片是邊長為a的正方形，B型卡片是長為b、寬為a的長方形，C型卡片是邊長為b的正方形．從其中取若干張卡片，每種卡片至少取一張，把取出的這些卡片拼成一個正方形（所拼的圖中既不能有縫隙，也不能有重合部分）．
嘗試操作：若k=10，請選取適當的卡片拼成一個邊長為（2a+b）的正方形，畫出示意圖．
思考解釋：若k=20，
①共取出50張卡片，取出的這些卡片能否拼成一個正方形？請簡要說明理由；
②可以拼成

13

種不同的正方形．
拓展應用：上述A、B、C型的卡片各若干張（足夠多），已知：a=2b，現共取出2500張卡片，拼成一個正方形，求可以拼成的正方形中面積最大值．（用含a的代數式表示）．

Answer 1

分析：嘗試操作：進行適當組合，使得所組成的圖形的邊長為2a+b即可；
思考解釋：①假設存在這樣的正方形，通過推理得出矛盾即可．
②利用枚舉法或解不等式組進行推理．

解答：解：嘗試操作：如圖
       
思考解釋：
①假設存在這樣的正方形，不妨設這個正方形的邊長為（xa+yb），則這個正方形的面積為（xa+yb）²=x²a²+2xyab+y²b²，
即此時需要x²張A卡片，2xy張B卡片，y²張C卡片，因此總共需要（x²+2xy+y²）張卡片，即（x+y）²張卡片．那么根據題意，（x+y）²=50，因此不存在這樣的x、y滿足題意，因此不能從其中取出50張卡片拼成正方形．
②13；        
對本題給出方法如下：
法一：枚舉法如（a+2b）²、（a+3b）²；
法二：由①知，令m=（x+y）²=x²+2xy+y²，則m為一個完全平方數，且滿足

4≤m≤60 x2≤20 2xy≤20 y2≤20

，
1°m=4時，x+y=2，

x=1 y=1

  1種；
2°m=9時，x+y=3，

x=1 y=2

x=2 y=1

 2種；
3°m=16時，x+y=4，

x=1 y=3

x=2 y=2

x=3 y=1

 3種；
4°m=25時，x+y=5，

x=1 y=4

x=2 y=3

x=3 y=2

x=4 y=1

 4種；

5°m=36時，x+y=6，

x=2 y=4

x=3 y=3

x=4 y=2

 3種；
6°m=49時，x+y=7，
0種
共13種．
拓展應用：
（x+y）²=2500，x+y=50，y=50-x，
邊長為：xa+yb=xa+

a

2

（50-x）=（25+

x

2

）a，
25+

x

2

隨x增大而增大，所以當x=49時最大．
最大面積為：（49a+b）²=（99b）²=（

99a

2

）²．

點評：本題考查了整式的混合運算，要將圖形和推理結合起來進行解答．