Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作EF⊥AC于點E，交AB的延長線于點F．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）如果∠A=60°，則DE與DF有何數量關系？請說明理由；
（3）如果AB=5，BC=6，求tan∠BAC的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，根據題意可得出∠1=∠C，則OD∥AC，由EF⊥AC可得出結論；
（2）連接AD，由圓周角定理可得出AD⊥BC，根據已知條件可得出∠3=30°，從而得出∠3=∠F，則AD=DF，由直角三角形的性質即可得出DF=2DE；
（3）設⊙O與AC的交點為P，連接BP，可求出BD，再根據勾股定理求出AD，根據三角形的面積公式得出BP，再由勾股定理得出AP，則得出tan∠BAC的值．
解答：（1）證明：連接OD，
∵AB=AC，∴∠2=∠C，
∵OD=OB，∴∠2=∠1，
∴∠1=∠C，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OD⊥EF，
∵點在⊙O上，
∴EF是⊙O的切線；

（2）解：DE與DF的數量關系是DF=2DE．連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，∴∠3=∠4=∠BAC=×60°=30°，
∵∠F=90°-∠BAC=90°-60°=30°，
∴∠3=∠F，∴AD=DF，
∵∠4=30°，EF⊥AC，
∴DE=AD，∴DF=2DE；

（3）解：設⊙O與AC的交點為P，連接BP，
∵AB為直徑，∴BP⊥AC，由上知BD=BC=×6=3，
∴AD===4，
S_△ABC=BC•AD=AC•BP，
∴×6×4=×5×BP，
∴BP=，
∴==，
∴tan∠BAC===．
點評：本題考查了切線的判定和性質、勾股定理、直角三角形的性質，以及銳角三角函數的定義，是一道綜合題，難度中等．