Question

【題目】已知在關于x的分式方程 ①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均為實數(shù)，方程①的根為非負數(shù)．
（1）求k的取值范圍；
（2）當方程②有兩個整數(shù)根x1、x2 ， k為整數(shù)，且k=m+2，n=1時，求方程②的整數(shù)根；
（3）當方程②有兩個實數(shù)根x1、x2 ， 滿足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k為負整數(shù)時，試判斷|m|≤2是否成立？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵關于x的分式方程 的根為非負數(shù)，

∴x≥0且x≠1，

又∵x= ≥0，且 ≠1，

∴解得k≥﹣1且k≠1，

又∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0中2﹣k≠0，

∴k≠2，

綜上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2；

（2）

解：∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0有兩個整數(shù)根x1、x2，且k=m+2，n=1時，

∴把k=m+2，n=1代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）=0，即：mx2﹣3mx+m﹣1=0，

∴△≥0，即△=（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0，

∴△=9m2﹣4m（m﹣1）=m（5m+4），

∵x1、x2是整數(shù)，k、m都是整數(shù)，

∵x1+x2=3，x1x2= =1﹣ ，

∴1﹣ 為整數(shù)，

∴m=1或﹣1，

∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0，

x2﹣3x=0，

x（x﹣3）=0，

x1=0，x2=3；

把m=﹣1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：﹣x2+3x﹣2=0，

x2﹣3x+2=0，

（x﹣1）（x﹣2）=0，

x1=1，x2=2；

（3）

解：|m|≤2不成立，理由是：

由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2，

∵k是負整數(shù)，

∴k=﹣1，

（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0且方程有兩個實數(shù)根x1、x2，

∴x1+x2=﹣ = =﹣m，x1x2= = ，

x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），

x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2，

x12+x22═x1x2+k2，

（x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2=k2，

（x1+x2）2﹣3x1x2=k2，

（﹣m）2﹣3× =（﹣1）2，

m2﹣4=1，

m2=5，

m=± ，

∴|m|≤2不成立．

【解析】（1）先解出分式方程①的解，根據分式的意義和方程①的根為非負數(shù)得出k的取值；（2）先把k=m+2，n=1代入方程②化簡，由方程②有兩個整數(shù)實根得△是完全平方數(shù)，列等式得出關于m的等式，由根與系數(shù)的關系和兩個整數(shù)根x1、x2得出m=1和﹣1，分別代入方程后解出即可．（3）根據（1）中k的取值和k為負整數(shù)得出k=﹣1，化簡已知所給的等式，并將兩根和與積代入計算求出m的值，做出判斷．本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關系，考查了根的判別式及分式方程的解；注意：①解分式方程時分母不能為0；②一元二次方程有兩個整數(shù)根時，根的判別式△為完全平方數(shù)．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用求根公式和根與系數(shù)的關系的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數(shù)根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數(shù)根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商．