Question

已知：點O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，且OB=OC，
（1）若點O在BC上，求證：AB=AC；
（2）若點O在△ABC的外部，則上述結論還成立嗎？若成立請畫出圖形并完成證明過程，若不成立，請舉出反例．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過證明△BOE≌△COF得到∠B=∠C，進而得出OB=OC．
（2）過點O作OE、OF分別與AB、AC垂直于點E、F，連接OB、OC，首先證明△BOE≌△COF，得到∠ABO=∠ACO，由OB=OC根據(jù)等邊對等角得∠OBC=∠OCB，進而得到∠ABC=∠ACB，從而得出結論：AB=AC．
解答：（1）證明：過點O作OE、OF分別與AB、AC垂直于點E、F，
∵點O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，
∴OE=OF．
在Rt△BOE與Rt△COF中
，
∴Rt△BOE≌Rt△COF．
∴∠B=∠C．
∴AB=AC．

（2）成立．
證明：如圖，過點O作OE、OF分別與AB、AC垂直于點E、F，連接OB、OC，
∵點O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，
∴OE=OF．
又∵OB=OC，
∴△BOE≌△COF（HL）．
∴∠ABO=∠ACO．
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB．
∴∠ABO-∠OBC=∠ACO-∠OCB．
∴∠ABC=∠ACB．
∴AB=AC．
點評：本題考查了全等三角形的判定及其性質、等腰三角形的判定等知識；正確作出輔助線是解答本題的關鍵．