Question

26、已知：點O到△ABC的兩邊AB，AC所在直線的距離相等，且OB=OC．
（1）如圖1，若點O在邊BC上，且OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，試說明AB=AC；
（2）如圖2，若點O在△ABC的內部，試說明AB=AC；
（3）若點O在△ABC的外部，AB=AC成立嗎？請畫圖表示．

Answer 1

分析：（1）求證AB=AC，就是求證∠B=∠C，可通過構建全等三角形來求．過點O分別作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分別是垂足，那么可以用斜邊直角邊定理（HL）證明直角三角形DEB和DFC全等來實現；
（2）思路和輔助線同（1）證得Rt△OEB≌Rt△OFC后，可得出∠OBE=∠OCF，等腰三角形ABC中，∠ABC=∠ACB，因此∠OBC=∠OCB，那么OB=OC；
（3）不一定成立，當∠A的平分線所在直線與邊BC的垂直平分線重合時，有AB=AC；否則，AB≠AC．

解答：證明：（1）過點O分別作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分別是垂足，
由題意知，OE=OF，OB=OC，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC，
∴∠B=∠C，
從而AB=AC；

（2）過點O分別作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分別是垂足，
由題意知，OE=OF．
在Rt△OEB和Rt△OFC中，
∵OE=OF，OB=OC，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC，
∴∠OBE=∠OCF，
又由OB=OC知∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；

（3）不一定成立．（如示例圖）

點評：本題的關鍵是通過輔助線來構建全等三角形．判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．