Question

已知：矩形OABC的頂點O在平面直角坐標系的原點，邊OA、OC分別在x、y軸的正半軸 上，且OA=3cm，OC=4cm，點M從點A出發沿AB向終點B運動，點N從點C出發沿CA向終點A運動，點M、N同時出發，且運動的速度均為1cm/秒，當其中一個點到達終點時，另一點即停止運動．設運動的時間為t秒．
（1）當點N運動1秒時，求點N的坐標；
（2）試求出多邊形OAMN的面積S與t的函數關系式；
（3）t為何值時，以△OAN的一邊所在直線為對稱軸翻折△OAN，翻折前后的兩個三角形所組成的四邊形為菱形？

Answer 1

【答案】分析：（1）過N作NE⊥y軸，作NF⊥x軸，由△CEN∽△COA，利用相似比求EN，再用勾股定理求CE，確定N點坐標；
（2）將多邊形OAMN分為△ONA和△AMN，用t分別表示兩個三角形的面積，再求和即可；
（3）分為①直線ON為對稱軸，②直線OA為對稱軸，③直線AN為對稱軸，畫出圖形，根據菱形的特殊性，列方程求解．
解答：解：（1）∵t=1∴CN=1，AM=1
過N作NE⊥y軸，作NF⊥x軸
∴△CEN∽△COA，∴，即，∴EN=．（1分）
由勾股定理得：，，∴．（2分）

（2）由（1）得，∴
∴N點坐標為．
∵多邊形OAMN由△ONA和△AMN組成
∴=（3分）
=（4分）
∴多邊形OAMN的面積S=．
（0≤t≤4）（5分）


（3）①直線ON為對稱軸時，翻折△OAN得到△OA′N，此時組成的四邊形為OANA′，
當AN=A′N=A′O=OA，四邊形OANA’是菱形．
即AN=OA，∴5-t=3∴t=2．（6分）

②直線OA為對稱軸時，翻折△OAN得到△OAN′，
此時組成的四邊形為ONAN′，連接NN′，交OA于點G．
當NN′與OA互相垂直平分時，四邊形ONAN′是菱形．
即OA⊥NN′，OG=AG=，
∴NG∥CO，∴點N是AC的中點，
∴CN=，∴（7分）

③直線AN為對稱軸時，翻折△OAN得到△O′AN，
此時組成的四邊形為ONO′A，連接OO’，交AN于點H．
當OO′與AN互相垂直平分時，四邊形ONO’A是菱形．
即OH⊥AC，AH=NH=，
由面積法可求得OH=，
在Rt△OAH中，由勾股定理得，AH=．
∴，∴．（8分）
綜上所述，t的值為．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，菱形的性質，矩形的性質及折疊變換．關鍵是根據題意，結合圖形及特殊圖形的性質，運用勾股定理，相似三角形的性質解題．